georg cantor paradoksu



  1. 19.yüzyıl alman matematikçi georg cantor'un sonsuzluğa olan merakı sonucu bulduğu paradokstur.

    a kümesinde tüm doğal sayılar olsun: 1,2,3,4,5...... (bu küme sonsuz)

    b kümesinde tüm çift sayılar olsun: 2,4,6,8,.... (bu küme de sonsuz)

    her iki küme de eşit miktarda sayıya sahiptir ancak a kümesi bütün çift sayıların yanı sıra bütün tek sayıları da kapsar. yani, a kümesi b kümesinden büyüktür.
  2. sonsuz bir küme aslında "sayılabilir" olmadığından (çünkü sonsuz, sayı değil konsepttir) anlamsızlaşan paradoks.

    meali: armut > kuru fasulye gibi bir şey
  3. efendim bu konuları ben kendime çekiyorum galiba, bölümü okuduğumdan olsa gerek. ^:swh^ paradoks değildir. her iki ifade de kendince doğrudur ama aynı anda birbirleriyle çelişmektedir. bu yüzden paradoks değildir.
  4. yanlış mı biliyorum yoksa paradoks dediğimiz görünüşte doğru olan bir ifade veya ifadeler topluluğunun bir çelişki oluşturması veya sezgiye karşı bir sonuç oluşturması değil midir?
  5. yazarların kendilerini paradoksa kaptırması.

    paradoks içinde paradoksa kapılıp gitme.
  6. ∞=∞ bu yanlis bir tutumdur
  7. a kümseninin b kümesinden büyük olduğunu söyleyebilmek için iki kümenin de ölçülebilir/hesaplanabilir olması gerekmektedir. sonsuzluk ölçülebilir/hesaplanabilir olmadığı için a kümsesi be kümseinden büyüktüe denemez. sonuç olarak bu paradoks yanlış bir önermedir.
  8. bir kümenin eleman sayısını o kümenin kardinalitesi olarak adlandıralım. (sonsuz elemanlı kümelerde de büyüklüğü diyelim). mesela {1,2,3} kümesinin 3 elemanı vardır {2,4,6} kümesinin de 3 elemanı vardır dolayısıyla bu iki kümenin kardinaliteleri birbirine eşit ve 3 tür. dikkat ederseniz bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliyoruz. aynı şeyi sonsuz kümeler için de yapabiliriz (iki sonsuz küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz). fakat bu sefer 1,2,3,... gibi sayma sayıları yerine kardinal sayılar için aleph0, aleph1,... kullanıyoruz (bu kümelerimiz sonsuz elemanlı olduğu için). a={1,2,3,4...} ve b={2,4,6,8,...} kümeleri sonsuz elemanlı kümelerdir. fakat biz bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz (f(x)=2x). dolayısıyla bu iki kümenin kardinalitesi aynıdır. paradoksa gelirsek; cantor teoremine göre bir kümenin eleman sayısı alt kümelerinin kümesinin eleman sayısından azdır (yani a kümesinin kardinalitesi a'nın alt kümelerinin kümesinin kardinalitesinden küçüktür.). şimdi bütün kümelerin kümesini düşünelim. bütün kümeleri kapsadığı için bu kümenin kardinalitesinin hepsinden büyük olması gerekir. fakat biz biliyoruz ki bu kümenin alt kümelerinin kümesinin kardinalitesi daha büyük. demek ki bütün kümelerin kümesi aslında bütün kümeleri içermiyor. işte paradoks bu. ama bu paradoks kümeler kuramı ciddi şekilde ele alınıp neyin küme olup neyin olamayacağı ortaya konduktan sonra ortadan kalkmıştır. buna göre bütün kümelerin kümesi diye bir küme olamaz. dolayısıyla paradoks ortadan kalkar.
  9. sonsuzluk sayısal değer ile ifade edilemezken, sonsuz sonsuzluğa eşittir denemez sanki.