1. tr. lipschitz devamlılığı. bir fonksiyonun değişiminin yani türevinin belirli bir anda alabileceği en yüksek değeri bir reel sayı ile sınırlayabiliyorsak bu lipschitz devamlı bir fonksiyondur[1]. bir f fonksiyonu (lokal) lipschitz devamlı bir fonksiyon ise sürekli türevlenebilir(continuously differentiable) bir fonksiyondur[2]. örneklerle[1] durumu izah etmeye çalışalım:

    #örnek 1) f: y=20*x fonksiyonunu ele alalım. burada birim x'deki en büyük y değişimi en fazla 20 olabilir(d(20*x)/d(x)=20) 20 sonlu ve reel sayılar kümesinin bir elemanı olduğundan f fonksiyonu türevlenebilir bir fonksiyondur.

    #örnek 2) g: y=exp(x) fonksiyonunu ele alalım. x sıfıra yaklaşırken y=1'e yakınsayan fonksiyon, x sonsuza giderken türevlenemez dikliğe sahip olur dy/dx = x*e^x üstsel fonksiyon analitik, yani sonlu taylor serisine açılabilmesine rağmen sınırlı bir değişime sahip değildir.

    #örnek 3) h: y=x^2 fonksiyonu x sonsuza giderken değişim de sonsuza gitmektedir[3].

    #örnek 4) i: y=sqrt(x). burada da y 0<=x<=1 aralığında iken x 0'a yakınsadığında türev de sonsuza gidecektir ve lipschitz devamlılık fonksiyonuna bu aralıkta riayet etmeyecektir.

    peki bu bilgiler gerçek hayatta ne işimize yarayacak?* lipschitz devamlı olmayan ve türevlenemeyen fonksiyonlar, algoritmik gerçeklemelerde run-time 'da başımıza en büyük dertleri açan fonksiyonlar olacaktır. özellikle diferansiyel denklemlerin bulunduğu ve bir solver tarafından yakınsanmaya çalışılan model tabanlı işlemlerde en büyük kabusun bu türevlenemeyen veya kısmi türevlenemeyen fonksiyonlardan gelme ihtimali epey yüksektir.

    kaynakça:
    [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity (#examples)
    [2] https://unapologetic.wordpress.com/2011/05/04/continuously-differentiable-functions-are-locally-lipschitz/
    [3] http://math.stackexchange.com/questions/242793/lipschitz-continuity-of-fx-to-x2
    tmain