matematiğin nesnesi nedir?

sokrat(s): pekala, o halde bana matematiğin ne olduğunu bilip bilmediğini söyler misin? sanırım üzerinde çalışmak istediğine göre matematiği tanımlayabilirsin de.
hipokrat(h): bunu çocuklar bile yapabilir. matematik bir bilimdir ve elbette bilimlerin en güzellerinden biridir.
s: senden istediğim matematiği övmen değil, onun doğasını tanımlamandı. örneğin eğer sorum tıp hakkında olsaydı, bu sanatın hastalık ve sağlıkla uğraştığını ve amacının hastalıkları iyileştirmek ve sağlığı korumak olduğu cevabını verecektin. haklı değil miyim?
h: kesinlikle.
s: o halde şu soruyu cevapla; doktorluk sanatı var olanla mı yoksa var olmayan şeylerle mi ilgilidir? doktorlar olmasa da hastalık var mıdır?
h: kesinlikle, hatta şu an olandan daha da fazla olacaktır.
s: şimdi de başka bir sanata geçelim, mesela astronomi olsun. astronomların yıldızların hareketi üzerinde çalıştıkları konusunda bana katılıyor musun?
h: şüphesiz.
s: astronomlar var olan bir şeyle mi uğraşıyorlar diye sorsam cevabın ne olur?
h: evet olacaktır tabii ki.

s: yıldızlar dünyada hiç astronom olmasa da var olacaklar mıydı?
h: tabii. zeus kızıp insanoğlunun soyunu tüketse bile yıldızlar, hala geceleri gökyüzünde parıldayacaklardır. ama niye matematik değil de astronomi üzerinde konuşuyoruz?
s: sabırsız olma, sevgili dostum. matematikle karşılaştırmak için birkaç başka sanat üzerinde daha düşünelim. ormanlarda ya da denizlerin derinliklerinde yaşayan tüm canlı varlıklar hakkında her şeyi bilen birini nasıl tanımlarsın?
h: bu insan, canlı doğayı inceleyen bir bilim adamıdır.
s: bu insanın var olan şeyleri incelediği düşüncesine katılıyor musun?
h: katılıyorum.
s: peki eğer, her sanat var olan bir şeylerle uğraşır dersem bana katılır mısın?
h: tümüyle tabii ki.
s: şimdi bana, matematiğin nesnesinin ne olduğunu söyler misin, genç dostum? bir matematikçi neleri inceler?
h: aynı soruyu theaiteos a sorduğumda bana, matematikçilerin sayıları ve geometrik formları incelediklerini söylemişti.
s: çok güzel, cevap doğru. peki, bu şeylerin var olduğunu söyleyebilir misin?
h: tabii ki. olmayan şeyler hakkında nasıl konuşabiliriz?
s: o halde şunu soracağım. asal sayılar, dünyada hiç matematikçi olmasa dahi var olurlar mıydı? eğer var olursa, nerede olurlardı söyler misin?
h: gerçekten ne cevap vereceğimi bilmiyorum. açıktır ki, eğer matematikçiler asal sayılar hakkında düşünüyorlarsa, o halde asal sayılar matematikçilerin bilinçlerinde vardır. fakat ortada hiç matematikçi yoksa, herhangi bir yerde asal sayılar da olmayacaktır.
s: bu ‘matematikçiler var olmayan şeyleri incelerler’ demek zorundayız anlamına mı geliyor, sevgili hipokrat?
h: evet sanırım, bunu kabul etmek zorundayız.
s: soruya başka bir açıdan bakalım. şuraya bak! balmumu tableti üzerine 37 sayısını yazdım. bu sayıya elinle dokunabiliyor musun?
h: kesinlikle.
s: o halde, belki de sayılar vardır?
h: benimle dalga geçiyorsun herhalde. aynı tablet üzerine yedi başı olan bir ejderha çizseydim, bu ejderhanın var olduğu anlamına mı gelecekti? hiç ejderha gören birine rastlamadım ve ejderhaların peri masalları dışında hiçbir yerde var olmadığına inanıyorum. ama yanıldığımı ve heracles in sütunları ötesinde bir yerlerde ejderhaların gerçekten de var olduklarını düşünelim. yine de çizdiğim ejderhaya benzemediklerine eminim.
s: doğru söylüyorsun, sana tümüyle katılıyorum. fakat bu, sayıların, onlar hakkında konuşup yazabilmemize rağmen, gerçekte var olmadıkları anlamına mı gelir, sevgili hipokrat?
h: kesinlikle öyle.
s: acele sonuçlar çıkarma. başka bir deneme daha yapalım: şu çayırdaki koyunları veya pire limanındaki gemileri sayabiliriz derken doğru mu söylüyorum?
h: evet, sayabiliriz.
s: koyunlar ve gemiler var mıdır?
h: şüphesiz.
s: ama koyunlar var ise, koyunların sayısı da var olan bir şey olmalı mıdır?
h: bana şaka yapıyorsun sokrat. koyun saymak, matematikçilerin değil çobanların işidir.
s: matematikçiler; koyunların, gemilerin ya da diğer şeylerin sayılarını değil, sayının kendisini mi incelerler demek istiyorsun, hipokrat? bu yüzden zihinlerde var olan şeylerle ilgilenirler öyle mi?
h: evet söylemek istediğim buydu.
s: bana ‘‘theaitetos a göre ‘matematikçilerin sayıları ve geometrik formları incelediklerini’’ söyledin. peki ya bu formların var olup olmadıklarını sorarsam cevabın ne olur?
h: kesinlikle vardırlar. örneğin güzel bir kabın formunu görebilir, elimizle de dokunabiliriz.
s: yine de hala bir güçlük var. bir kaba bakarken ne görürsün, kabı mı kabın formunu mu?
h: her ikisini de görürüm.
s: bu bir koyuna bakmakla aynı şey midir? şu karşıdaki koyunu ve yünleri görüyor musun?
h: bu oldukça iyi bir benzetme.
s: adeta hephaestus gibi topallıyor. koyunu tıraş edebilir; koyunu yünsüz, yünü de koyunsuz
olarak görebilirsin. aynı şekilde bir kabın formunu, kabın kendinden ayırabilir misin?
h: kesinlikle hayır. hatta bunu hiç kimsenin yapamayacağını da söyleyebilirim.
s: yine de hala geometrik bir formu görebileceğine inanıyor musun?
h: bundan kuşkulanmaya başladım.
s: ayrıca, eğer matematikçiler kapların formlarını inceliyorlarsa, matematikçilere çömlekçiler dememiz gerekmez mi?
h: kesinlikle.
s: öyleyse theodoros en iyi matematikçiyse, bu onun en iyi çömlekçi olduğu anlamına gelmez mi? onu öven birçok insan gördüm, ama kimse bana onun çömlekçilikten anladığını söylemedi. theodoros un en basit çömleği bile yapabileceğinden emin değilim.
sevgili dostum, matematikçilerin geometriyle uğraşırken kaplar gibi var olan nesnelerin formlarıyla değil, yalnızca düşüncelerinde var olan formlarla ilgilendikleri sonucunu çıkarıyoruz. matematikçilerin gerçeklikte değil düşüncelerinde var olan şeylerle ilgilendikleri sonucuna ulaştıktan sonra, şimdi de theaitetos un sözlerini inceleyelim. theaitetos matematiğin diğer bilim dallarına göre daha güvenilir, daha sağlıklı bilgiler verdiğini söylemişti. peki, theaitetos hiç örnek verdi mi bu konuda?
h: evet. örneğin hiç kimsenin atina nın sparta dan ne kadar uzakta olduğunu kesin olarak bilemeyeceğini söyledi. tabii bu yolu aşmış olan herkes, yolun yürünerek kaç günde katedilebileceği konusunda aynı şeyi söyleyebilir. ama aradaki mesafenin tam olarak kaç adım olduğunu bilmek olanaksızdır. buna karşılık, pisagor teoremi yoluyla bir karenin köşegen uzunluğunun tam olarak neye karşılık geldiği hesaplanabilir. theaitetos ayrıca yunanistan da yaşayanların tam sayısını vermenin de olanaksız olduğunu söyledi. tüm nüfusu saymaya çalışan biri, asla tam nüfus sayısını elde edemeyecektir. çünkü sayım işlemi sırasında bazı yaşlı insanlar ölecek, bebekler dünyaya gelecektir. bundan dolayı toplam sayı sadece yaklaşık olarak doğru olabilecektir. ama bir matematikçiye düzgün bir on ikiyüzlü nün kenar sayısını sorarsan, on ikiyüzlünün her biri beş kenarı olan on iki yüzü olduğunu anlatacaktır. bu altmış eder ama her kenar iki yüze aittir ve bu yüzden iki kere sayılmıştır. on ikiyüzlünün kenar sayısı otuz dur ve bu sayı hiçbir şüpheye yer bırakmaz.
s: theaitetos başka örnekler de verdi mi?
h: birkaç örnekten daha bahsetti, ama bu örneklerin tümünü hatırlamıyorum. gerçeklikte, tümüyle birbirinin aynı iki şey bulunmasının olanaksız olduğunu, poseidon tapınağının sütunlarının bile az da olsa birbirinden faklı olduğunu söyledi. buna karşılık bir dikdörtgenin köşegenlerinin birbirlerine tam olarak eşit olduklarından emin olabileceğimizi söyledi. heraclitus tan bir alıntı yaparak; var olan her şeyin sürekli olarak değiştiğini, ancak 1(tek), 2(çift), 3(üç tane), doğru ve çember gibi hiç değişmeyen şeyler hakkında kesin bilgi sahibi olmanın mümkün olduğunu anlattı.
s: sanırım bu kadarı yeterli. bu örnekler matematikte şüpheden uzak bilginin edinilebileceğini, diğer bilimlerde ve günlük yaşamda ise bunun mümkün olmadığı konusunda beni ikna etti. şimdi de matematiğin doğası üzerine sorduğumuz sorulardan elde ettiğimiz sonuçları toparlayalım. matematiğin var olmayan şeyleri incelediği ve incelediği şeyler hakkındaki tüm gerçekleri keşfedebileceğini söylemem yeterli olur mu?
h: evet. çıkardığımız sonuç buydu.
s: peki zeus aşkı için söyler misin; var olmayan şeyler hakkında var olan şeylere göre daha çok şey bilmemizin gizemli bir yanı yok mu sevgili hipokrat?
h: eğer böyle bakarsak, kesinlikle gizemli bir yanı var. eminim akıl yürütmemizde birtakım yanlışlıklar oldu.
s: hayır büyük bir dikkatle ilerledik. akıl yürütmemizde herhangi bir yanlışlık olmadı. bu düğümü çözmemizde yardımı olabilecek bir şey hatırlıyorum.
h: bir an önce söyle, çünkü her şeyi birbirine karıştırmış durumdayım.

s: bu sabah ikinci arhon un salonundaydım. pitthos köyünden bir marangozun karısı, kocasını aldatmak ve onu aşığının yardımıyla öldürmekle suçlanıyordu. kadın itiraz etti. masum olduğuna, kocasından başka birini sevmediğine, kocasının korsanlar tarafından öldürüldüğüne artemis ve afrodit adına yemin etti. çok sayıda kişi tanık olarak çağrıldı. bazıları kadının suçlu olduğunu, bazılarının masum olduğunu söylediler. gerçekte ne olduğunu çözmek olanaksızdı.
h: benimle yine mi alay ediyorsun sokrat? önce her şeyi birbirine karıştırmama neden oldun, sonra da doğruyu bulmama yardım etmek yerine bu öyküleri anlatıyorsun.
s: kızma dostum, bu öyküyü anlatmamın çok ciddi nedenleri var. kadının suçsuzluğunu kanıtlaması olanaksızdı. fakat kesin olan tek şey, bu kadının var olduğuydu. onu kendi gözlerimle gördüm. orada bulunan ve birçoğu yaşamları boyunca hiç yalan söylememiş insanlara da kadının var olup olmadığını sorsan hep aynı cevabı vereceklerdir.
h: tanıklığın benim için yeterli sevgili sokrat. o kadının varlığını kabul ederim. ama bunun matematikle ne ilgisi var?
s: tahmin edebileceğinden daha fazla. ama bana önce, agamemnon ve clytemnestra hakkındaki hikayeyi bilip bilmediğini söyle.
h: bu hikayeyi herkes bilir. geçen yıl aeschylus(aşil) in üçlemesini tiyatroda seyretmiştim.
mycenae kralı agamemnon, truva surları dibinde savaşırken karısı clytemnestra, kuzeni aegisthus la onu aldatır. truva nın düşmesinden sonra evine dönen agamemnon, karısı ve aşığı tarafından öldürülür.
s: clytemnestra nın suçlu olduğu kesin midir hipokrat?
h: bana neden böyle sorular sorduğunu anlamıyorum. hikaye şüphesiz doğru. homeros a göre odysseus, ruhların dünyasını ziyareti sırasında agamemnon la karşılaşmış, agamemnon o’na kendi acı sonunu anlatmıştır.
s: clytemnestra, agamemnon ve öykünün diğer kahramanlarının var olduğuna emin misin?
h: bunu insanlara söylersem belki de beni dışlarlar, ama yüzlerce yıl sonra homeros un öykülerini kanıtlamak olanaksızdır. fakat bunun konumuzla pek ilgisi yok. ‘clytemnestra suçluydu’ dediğimde hakkında konuştuğum eğer böyle biri yaşadıysa bile gerçek clytemnestra değil, homeros un öyküsündeki, aşil üçlemesindeki clytemnestra dır.
s: gerçek clytemnestra hakkında hiçbir şey bilmediğimizi söyleyebilir miyim? clytemnestra nın gerçekte var olup olmadığı kesin olmasa da aşil üçlemesinin bir karakteri olarak bakıldığında clytemnestra suçluydu ve agamemnon u öldürmüştü. çünkü aşil in bize söylediği budur.
h: evet tabii ki. fakat neden bunlar üzerinde ısrarla duruyorsun?
s: az sonra anlayacaksın. öğrendiklerimizi özetlersek; bugün atina da yargılanan kanlı canlı kadının suçlu olup olmadığını saptamak mümkün değildir. oysa belki de hiç yaşamamış bir oyun karakteri olan clytemnestra nın suçlu olduğu şüphesizdir. aynı fikirde misin?
h: şimdi ne demek istediğini anlamaya başlıyorum. yine de sonuçları sen çıkarsan daha iyi olur.
s: sonuç şu ki; bir oyunun karakterleri gibi, sadece imgelememizde var olan kişiler hakkında, yaşayan kişilere göre çok daha kesin bilgilere sahip oluruz. eğer clytemnestra suçluydu diyorsak, bu aşil in imgeleminde o nu nasıl kurduğunu ve oyunda o nu nasıl sunduğunu anlatır. durum matematikte de tam olarak aynıdır. dikdörtgenin köşegenlerinin eşit olduğundan emin olabiliriz, bu matematikçilerin yaptığı dikdörtgen tanımının doğal bir sonucudur.
h: paradoksal sonucumuzun gerçekten doğru olduğunu ve matematiksel nesneler gibi var olmayan şeyler hakkındaki bilgimizin doğanın gerçek nesneleri hakkındaki bilgilerimize göre çok daha kesin olduğunu mu söylüyorsun? sanırım şimdi, ben de bunun neden böyle olduğunu görebiliyorum. kendi yarattığımız kavramlar doğaları gereği, tümüyle bildiğimiz şeylerdir. bu kavramlar hakkındaki doğruları tümüyle keşfedebiliriz. çünkü bu kavramlar imgelemimiz dışında bir gerçekliğe sahip değillerdir. oysa gerçek dünyada var olan nesneler kafamızdaki yaklaşık ve eksik resimleriyle özdeş değildir. bu yüzden de bu gerçek şeyler hakkındaki bilgimiz hiçbir zaman tam ve kesin olamaz.
s: doğru buydu genç dostum ve sen doğruyu benim ifade edebileceğimden çok daha iyi ifade ettin.
h: bu şeref sana ait sokrat. bu şeyleri anlamamı sen sağladın. theaitetos bana, eğer yanılgılardan uzak bilgi edinmeyi istiyorsam matematik çalışmam gerektiğini söylemişti. şimdi bunun neden doğru olduğunu da anlıyorum. yine de bana şu ana kadar sabırla kılavuzluk ettin, lütfen bunu sürdür çünkü sorularımdan biri, aslında en mühimi halen cevaplanmadı.
s: bu soru nedir?
h: sokrat. lütfen sana, matematik çalışıp çalışmamam konusunda öğüdünü almaya geldiğimi anımsa. matematiğin ve yalnızca onun istediğim sağlıklı bilgiyi bana verebileceğini anlamama yardımcı oldun. ama bu bilginin yararı nedir? eğer biri var olan dünya hakkında eksik ve kesinlikten uzak bir bilgi bile edinse, bunu birey için olduğu kadar toplum için de yararlı olduğu açıktır. bir kişi yıldızlar hakkında bile bir şeyler öğrense, örneğin geceleri denizde yol alma konusunda bunun faydası olur. ama matematiğin verdiği türden var olmayan şeyler hakkındaki bilginin yararı nedir?
s: sevgili hipokrat, eminim cevabı biliyorsun ama beni sınıyorsun.
h: heracles aşkına, cevabı bilmiyorum.
s: o zaman, beraber cevabı bulmaya çalışalım. matematiksel kavramların, matematikçinin kendisi tarafından yaratıldığını saptamıştık. peki bu, matematikçinin kavramlarını dilediği gibi, rastgele bir şekilde seçtiği anlamına mı gelir?
h: matematik hakkında fazla bilgim olmadığını söylemiştim. ama öyle görünüyor ki, matematikçiler inceleyecekleri nesneleri seçerken, bir şairin oyunun karakterlerini seçerken davrandığı kadar özgürdür. şair nasıl karakterlerini hoşuna gittiği özelliklerle donatabilirse, matematikçi de kavramlarına dilediği özellikleri verebilir.
s: eğer böyle olsaydı, matematikçilerin sayısı kadar da matematiksel doğru olurdu. o zaman tüm matematikçilerin aynı nosyonları ve problemleri incelemelerini nasıl açıklarsın? ya da sık sık olduğu üzere, birbirlerinden uzakta yaşayan ve hiçbir bağlantıları da olmayan matematikçilerin her birinin bağımsız olarak aynı doğruyu bulmalarına ne dersin? hiç, aynı şiiri yazmış iki ozan duymadım.
h: ben de hiç böyle bir şiir duymadım. eş ölçülemez uzaklıklar konusunda bulduğu bir teorem hakkında theaitetos un anlattıklarını anımsıyorum. elde ettiği sonuçları hocası theodorus sunduğunda, hocası da ona, neredeyse kelimesi kelimesine aynı teoremi içeren archytas tarafından yazılmış bir mektubu göstermiş.
s: şiirde bu mümkün değildir. görüyorsun ki ortada bir sorun var. ama devam edelim: farklı ülkelerin matematikçilerinin neyin doğru olduğu hakkında genelde fikir birliği içinde olmalarını, buna karşılık toplumu ilgilendiren sorunlar hakkında perslerin ve spartalıların görüşlerinin biz atinalıların görüşlerinden tümüyle farklı olmasını, üstelik burada atina da .bizim de toplumsal konularda, sıkça aramızda görüş ayrılıklarının ortaya çıkmasını nasıl açıklarsın?
h: son sorunu cevaplayabilirim. toplumu ilgilendiren konularda herkesin kişisel çıkarı söz konusudur ve genellikle bu kişisel çıkarlar birbirleriyle çelişirler. bu yüzden görüş birliğine ulaşmak da zordur. oysa matematikçiler sadece doğruyu bulma arzularıyla hareket ederler.
s: söylediklerin, matematikçilerin kendilerinden tamamen bağımsız bir doğruyu bulmaya çalıştıkları anlamına mı geliyor?
h: evet.
s: o halde matematikçilerin inceleyecekleri nesneleri diledikleri gibi seçtiklerini düşünürken yanıldık. öyle görünüyor ki, inceledikleri nesnelerin matematikçilerden bağımsız bir varlıkları olduğundan bahsedilebilir. şimdi bu yeni düğümü çözmemiz lazım.