(bkz: sandwich teoremi)

teorem: h, b’de tanımlı ve gerçel sayılarda değer alan bir fonksiyon olsun. eğer limx->a f(x)
ve limx->a g(x) varsa ve eşitlerse ve a’nın bir komşululuğunda f ≤ h ≤ g ise o zaman,
limx->a f(x) = limx->a h(x) = limx->a g(x)
olur.

kanıt: eğer limx->a (h(x) - f(x)) limiti olduğunu ve bu limitin 0’a eşit olduğunu gösterirsek, o zaman
h(x) = (h(x) - f(x)) artı f(x) olduğundan limx->a h(x) vardır ve
limx->a h(x) = limx->a (h(x) - f(x)) artı limx->a f(x)= 0 artı limx->a f(x) = limx->a f(x) olur. demek ki a’nın bir komşuluğunda 0 ≤ h - f ≤ g - f eşitsizlikleri ve
limx->a (g(x) - f(x)) = 0
eşitliği varsayımlarından hareketle
limx->a (h(x) - f(x))
limitinin olduğunu ve 0’a eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. h - f yerine h, g - f yerine g yazalım ve
limx->a g(x) = 0 eşitliğinden ve a’nın bir komşuluğunda 0 ≤ h ≤ g eşitsizliklerinden hareketle, limx->a h(x) limitinin olduğunu ve 0’a eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
€ > 0 olsun. limx->a g(x) = 0 olduğundan öyle bir
ß1 > 0 vardır ki,
(a - ß1, a artı ß1) kesişim b aralığındaki her x sayısı için,
-€ < g(x) < € eşitsizliği sağlanır.
a’nın bir komşuluğunda 0 ≤ h ≤ g olduğundan öyle bir ß2 > 0 vardır ki, (a - ß2, a artı ß2) kesişim b kümesindeki her x sayısı için, 0 ≤ f(x) ≤ g(x)
olur. demek ki eğer ß = min{ ß1, ß2 } ise,
her x elemanıdır (a - ß2, a artı ß2) kesişim b için,
0 ≤ f(x) ≤ g(x) < €,
yani -€ ≤ f(x) < € sağlanır. demek ki limx->a f(x) = 0.

€: epsilon
ß: sigma
artı da toplama işlemini belirtiyor. sembolleri algıladığı kadarıyla yazabildim kusura bakmayın.