bir kümenin eleman sayısını o kümenin kardinalitesi olarak adlandıralım. (sonsuz elemanlı kümelerde de büyüklüğü diyelim). mesela {1,2,3} kümesinin 3 elemanı vardır {2,4,6} kümesinin de 3 elemanı vardır dolayısıyla bu iki kümenin kardinaliteleri birbirine eşit ve 3 tür. dikkat ederseniz bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliyoruz. aynı şeyi sonsuz kümeler için de yapabiliriz (iki sonsuz küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz). fakat bu sefer 1,2,3,... gibi sayma sayıları yerine kardinal sayılar için aleph0, aleph1,... kullanıyoruz (bu kümelerimiz sonsuz elemanlı olduğu için). a={1,2,3,4...} ve b={2,4,6,8,...} kümeleri sonsuz elemanlı kümelerdir. fakat biz bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz (f(x)=2x). dolayısıyla bu iki kümenin kardinalitesi aynıdır. paradoksa gelirsek; cantor teoremine göre bir kümenin eleman sayısı alt kümelerinin kümesinin eleman sayısından azdır (yani a kümesinin kardinalitesi a'nın alt kümelerinin kümesinin kardinalitesinden küçüktür.). şimdi bütün kümelerin kümesini düşünelim. bütün kümeleri kapsadığı için bu kümenin kardinalitesinin hepsinden büyük olması gerekir. fakat biz biliyoruz ki bu kümenin alt kümelerinin kümesinin kardinalitesi daha büyük. demek ki bütün kümelerin kümesi aslında bütün kümeleri içermiyor. işte paradoks bu. ama bu paradoks kümeler kuramı ciddi şekilde ele alınıp neyin küme olup neyin olamayacağı ortaya konduktan sonra ortadan kalkmıştır. buna göre bütün kümelerin kümesi diye bir küme olamaz. dolayısıyla paradoks ortadan kalkar.